相関の注意点
前回 1-9 で、相関係数 $r$ という便利な指標を手に入れました。でも便利な道具ほど、使い方を間違えると危険です。今回は $r$ にだまされないための注意点をまとめます。
主役は5つ。第三の変数が作るみかけの相関（擬似相関）と交絡、その犯人探しに使う偏相関係数 $r_{xy\cdot z}$、多変数をまとめて見る相関行列、グループ分けで真相が見える層別散布図（シンプソンのパラドックス）、そして外れ値と非線形の落とし穴。すべてに効く合言葉は「相関は因果ではない、まず散布図を見る」です。
相関係数って数字が出ると、つい「関係あり！」「だから原因だ！」って言いたくなるよね。でもそこが落とし穴。今回は「数字にだまされないコツ」を5つ覚えていこう。試験でも超頻出だよ！
1. 相関は因果ではない
いちばん大事な原則から。2つの変数に相関があっても、片方がもう片方の原因とは限りません。「$x$ と $y$ がいっしょに動く」ことと「$x$ が $y$ を引き起こす」ことは、まったく別の話です。
$x$ と $y$ に相関が見られたとき、その背後には少なくとも4つの可能性があります。
- $x$ が $y$ の原因（$x \to y$）
- $y$ が $x$ の原因（逆向きの因果、$y \to x$）
- 第三の変数 $z$ が $x$ と $y$ の両方の原因（みかけの相関）
- たまたま（偶然の相関）
相関係数 $r$ は、このどれなのかを区別できません。$r$ が教えてくれるのは「いっしょに動いている」という事実だけ。因果を語るには、観察だけでなく実験デザインなどの工夫が必要です（第3章 3-2 で扱います）。
2. みかけの相関と交絡
上の3番目、第三の変数が両方の原因になっているケースを、みかけの相関（擬似相関、見せかけの相関）といいます。そして、こっそり背後にいてグラフをゆがめる第三の変数 $z$ を交絡変数（こうらくへんすう、confounder）と呼びます。
ある町のデータで、「アイスの売上 $x$」と「水難事故の件数 $y$」に強い正の相関（たとえば $r=0.8$）が見られました。アイスが事故を引き起こしているのでしょうか? もちろん違います。背後には気温 $z$ がいます。気温が高いとアイスも売れるし、海やプールに行く人が増えて事故も増える。$z$ が $x$ と $y$ の両方を押し上げているので、$x$ と $y$ がいっしょに動いて見えるだけなのです。
交絡 ─ 気温 $z$ が $x$ と $y$ の両方の原因。$x$–$y$ の相関は「みかけ」（破線）
3. 偏相関係数 ─ 第三の変数の影響を取り除く
では、気温 $z$ の影響を取り除いたうえで、アイス売上 $x$ と水難事故 $y$ に本当の関係が残るか調べたい。このときに使うのが偏相関係数（へんそうかんけいすう、partial correlation）$r_{xy\cdot z}$ です。「$z$ をそろえたとき（一定にしたとき）の $x$ と $y$ の相関」と読みます。
$x,\,y,\,z$ それぞれの間の相関係数 $r_{xy},\,r_{xz},\,r_{yz}$ を使って、 $$r_{xy\cdot z} = \frac{r_{xy} - r_{xz}\, r_{yz}}{\sqrt{1 - r_{xz}^{2}}\ \sqrt{1 - r_{yz}^{2}}}$$ 分子で「$z$ を経由して説明できる分 $r_{xz}r_{yz}$」を $r_{xy}$ から引いているのがポイントです。
さきほどのデータで、相関係数が次のように出たとします。 $$r_{xy}=0.80,\qquad r_{xz}=0.90,\qquad r_{yz}=0.85$$ 気温 $z$ の影響を除いた偏相関係数を計算してみましょう。 $$r_{xy\cdot z} = \frac{0.80 - 0.90 \times 0.85}{\sqrt{1-0.90^2}\ \sqrt{1-0.85^2}} = \frac{0.80 - 0.765}{\sqrt{0.19}\ \sqrt{0.2775}}$$ $$= \frac{0.035}{0.4359 \times 0.5268} \approx \frac{0.035}{0.2296} \approx 0.15$$
もとは $r_{xy}=0.80$ という強い相関でしたが、気温をそろえると $r_{xy\cdot z}\approx 0.15$ まで激減しました。つまり $x$–$y$ の見かけの強い相関は、ほとんどが気温という交絡変数のしわざだった、と数値で示せたわけです。
偏相関係数は「気温を一定にしたらどうなる?」を計算で再現する道具だよ。$0.80$ が $0.15$ まで落ちたら、「あ、これ気温のせいだったんだ」ってわかるよね。擬似相関の名探偵なの！
4. 相関行列 ─ たくさんの変数を一望する
変数が3つ以上あるときは、すべてのペアの相関係数を表にまとめると見通しがよくなります。これを相関行列（そうかんぎょうれつ、correlation matrix）といいます。$(i,\,j)$ 成分に「変数 $i$ と変数 $j$ の相関係数」を並べた正方形の表です。
| $x$（アイス売上） | $y$（水難事故） | $z$（気温） | |
|---|---|---|---|
| $x$ | $1$ | $0.80$ | $0.90$ |
| $y$ | $0.80$ | $1$ | $0.85$ |
| $z$ | $0.90$ | $0.85$ | $1$ |
相関行列には、覚えておくと得な性質が2つあります。第一に、対角成分は必ず $1$（自分自身との相関は完全一致）。第二に、対角線をはさんで対称です。$x$ と $y$ の相関も、$y$ と $x$ の相関も同じ値だからですね。表を読むときは、対角線より上（または下）の半分だけ見れば十分です。
この表からも、$z$ が $x$・$y$ の両方と強く相関している（$0.90,\,0.85$）ことが一目でわかります。交絡変数があやしいときは、まず相関行列で「両方と仲のいい変数」を探すのが手早いやり方です。
5. 層別散布図とシンプソンのパラドックス
第三の変数の影響を見抜くもう1つの方法が、グループごとに色分けして散布図を描く層別散布図（そうべつさんぷず）です。全体をひとまとめにすると見えない構造が、層（グループ）に分けると浮かび上がることがあります。
ときには、全体で見たときと、層別に見たときで、相関の向きが逆転することすらあります。これがシンプソンのパラドックスです。
シンプソンのパラドックス ─ 各グループ内は右下がり（負）なのに、まとめると右上がり（正）に見える
図の青いグループと赤いグループは、どちらの中でも $x$ が増えると $y$ は減る（負の相関）です。ところが2つを1つの散布図にまとめると、グループ全体の位置関係のせいで「右上がり（正の相関）」に見えてしまいます。グループ（層）という第三の変数を無視すると、結論が真逆になる──これがシンプソンのパラドックスの怖さです。
6. 外れ値と非線形 ─ 散布図でしか気づけない
外れ値の影響
相関係数は平均と標準偏差を使って計算されるので、外れ値（極端に離れた1点）に弱い性質があります。ほぼ無相関のデータに、右上の遠くへ1点を加えるだけで、$r$ が大きくプラスへジャンプして「強い正の相関がある」ように見えてしまうことがあります。逆に、本当は強い相関があるのに、1点の外れ値で $r$ がぐっと下がることもあります。
非線形の関係
もう1つの落とし穴が非線形（直線的でない）の関係です。相関係数はあくまで「直線的な連動」を測るので、山なり（U字型）のようなはっきりした関係があっても $r\approx 0$ になってしまうことがあります。
非線形 ─ はっきりした山なりの関係があるのに $r \approx 0$
理由はこうです。山なりのデータは、左半分では正の連動（$x$ が増えると $y$ も増える）、右半分では負の連動（$x$ が増えると $y$ は減る）。両者が打ち消し合って、直線的な連動はほぼゼロ。だから $r$ はほぼ $0$ になります。「$r=0$ だから関係なし」と早合点すると、明らかな関係を見逃します。
外れ値も非線形も、相関係数の数値だけ見ていては気づけません。けれど散布図を一度描けば、どちらも一目瞭然。だから「$r$ を計算する前に、必ず散布図を描く」が、相関分析の鉄則なのです。
まとめ
第1章 1-10、ポイントを整理します。
- 相関 ≠ 因果：いっしょに動くことと、原因であることは別。逆因果・偶然・交絡の可能性を疑う
- みかけの相関・交絡：第三の変数 $z$ が $x,\,y$ 両方の原因のとき、$x$–$y$ は見かけだけ相関する
- 偏相関係数：$r_{xy\cdot z}=\dfrac{r_{xy}-r_{xz}r_{yz}}{\sqrt{1-r_{xz}^2}\sqrt{1-r_{yz}^2}}$。$z$ を一定にしたときの $x$–$y$ の相関
- 相関行列：全ペアの相関を並べた表。対角は $1$、対称。交絡変数探しに便利
- 層別散布図：グループ分けで構造が見える。向きが逆転するのがシンプソンのパラドックス
- 外れ値・非線形：$r$ は数値だけでは見抜けない。必ず散布図を描く
次回 1-11 回帰直線 では、散布図に「いちばん良い直線」を1本引く方法を学びます。前回の共分散・相関係数が、その直線の傾きを決める主役として再登場します。
「相関は因果じゃない」「まず散布図」──この2つを呪文みたいに唱えておけば、相関のワナにはほぼハマらないよ。偏相関係数も、$0.80$ が $0.15$ になる例で感覚をつかめたかな？ 次はいよいよ回帰直線だよ！