連続分布① 一様分布・指数分布

密度 $f(x)$ がみたすべき2条件と、確率・期待値・分散の定義： $$f(x)\ge 0,\qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$$ $$P(a\le X\le b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$$ $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,\qquad V[X] = E[X^2] - \big(E[X]\big)^2$$

区間 $[a,b]$ 上の一様分布 $U(a,b)$ の確率密度関数： $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & (a \le x \le b)\\[6pt] 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}$$ 高さが $\dfrac{1}{b-a}$ なのは、幅 $b-a$ × 高さ $=$ 面積 $1$ をみたすためです。

$$ \begin{aligned} E[X] &= \int_{a}^{b} x\cdot \frac{1}{b-a}\,dx &&\text{(定義に密度を代入)}\\[2pt] &= \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{a}^{b} &&\text{(} x \text{ を積分)}\\[2pt] &= \frac{1}{b-a}\cdot \frac{b^2-a^2}{2} &&\text{(上端} - \text{下端)}\\[2pt] &= \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2} &&\text{(} b^2-a^2=(b-a)(b+a) \text{ で約分)} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} E[X^2] &= \int_{a}^{b} x^2\cdot \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{a}^{b} = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)}\\[2pt] &= \frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3(b-a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{3} &&\text{(} b^3-a^3 \text{ を因数分解)}\\[6pt] V[X] &= E[X^2]-\big(E[X]\big)^2 = \frac{a^2+ab+b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\\[2pt] &= \frac{4(a^2+ab+b^2) - 3(a+b)^2}{12} = \frac{a^2-2ab+b^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12} \end{aligned} $$

一様分布 $U(a,b)$ のまとめ： $$E[X] = \frac{a+b}{2},\qquad V[X] = \frac{(b-a)^2}{12}$$ 分散は区間の幅 $b-a$ だけで決まり、位置 $a,b$ そのものにはよりません。幅が広いほどばらつくのは直感どおりです。

発生率 $\lambda>0$ の指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ の確率密度関数： $$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \ge 0)\\[4pt] 0 & (x<0) \end{cases}$$ $x=0$ で高さ $\lambda$ から始まり、右へ向かって指数的に減衰していきます。

$$ \begin{aligned} F(x) = P(X\le x) &= \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t}\,dt &&(x\ge 0)\\[2pt] &= \lambda\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_{0}^{x} &&\text{(} e^{-\lambda t} \text{ を積分)}\\[2pt] &= \Big[-e^{-\lambda t}\Big]_{0}^{x} = -e^{-\lambda x}-(-1) = 1 - e^{-\lambda x} \end{aligned} $$

$$F(x) = P(X\le x) = 1 - e^{-\lambda x}\quad(x\ge 0)$$ したがって「$x$ より長く待つ確率」は $P(X>x)=e^{-\lambda x}$。待ち時間が長くなるほど指数的に起こりにくくなることを表しています。

$$ \begin{aligned} E[X] &= \int_{0}^{\infty} x\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \Big[-x e^{-\lambda x}\Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx &&\text{(部分積分)}\\[2pt] &= 0 + \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda} &&\text{(第1項は} 0 \text{に収束)} \end{aligned} $$ 同様に部分積分をもう一度使うと $E[X^2]=\dfrac{2}{\lambda^2}$ となり、 $$V[X] = E[X^2]-\big(E[X]\big)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$$

指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ のまとめ： $$E[X] = \frac{1}{\lambda},\qquad V[X] = \frac{1}{\lambda^2},\qquad \sigma = \frac{1}{\lambda}$$ 発生率 $\lambda$ が大きい（よく起こる）ほど、待ち時間の平均 $1/\lambda$ は短くなります。平均と標準偏差が等しい（どちらも $1/\lambda$）のも指数分布の特徴です。

任意の $s,t\ge 0$ について、 $$P(X>s+t \mid X>s) = P(X>t)$$ 「あと $t$ 以上待つ確率」は、すでにどれだけ待ったか（$s$）に関係なく、最初から $t$ 待つ確率と同じ、という意味です。

条件付き確率の定義に $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ を代入します。 $$ \begin{aligned} P(X>s+t \mid X>s) &= \frac{P(X>s+t \text{ かつ } X>s)}{P(X>s)} &&\text{(条件付き確率の定義)}\\[2pt] &= \frac{P(X>s+t)}{P(X>s)} &&\text{(} s+t>s \text{ なので分子は} X>s+t \text{)}\\[2pt] &= \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X>t) &&\text{(指数法則で約分)} \end{aligned} $$

無記憶性が意味するのは、「過去の経過が未来を予測する手がかりにならない」ということ。たとえば「もう $10$ 分待ったんだから、そろそろ来るはず」という期待は、指数分布の世界では成り立ちません。$10$ 分待った後にさらに $5$ 分待つ確率は、待ち始めの瞬間に $5$ 分待つ確率とまったく同じです。これは離散版の幾何分布（2-8）と同じ性質で、指数分布は「幾何分布の連続版」とも言えます。

試験では「密度から確率を積分で求める」「$E[X]$・$V[X]$ の公式を使う」「指数分布の $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ を使う」の3パターンが頻出です。とくに指数分布は$\lambda$ が発生率（$1$ あたりの回数）で、平均は逆数 $1/\lambda$ という関係を取り違えないこと。「平均 $5$ 分なら $\lambda=1/5$」とすぐ変換できるようにしておきましょう。