事象の独立性と試行の独立性
前回まで事象と確率の基本と練習問題を学びました。今回は確率論の中でも特に重要な独立性を扱います。「2つの事象が互いに影響しない」という関係を、数式で正確にとらえる回です。
本ページでは、事象の独立性と試行の独立性を整理します。途中で前回学んだ排反な事象との違いも押さえます。実は「独立 ≠ 排反」──この区別は試験でも実務でも、ものすごく重要です。
後半では、独立性を使った6問の練習問題もご用意しています。
独立性は確率の中でも特に大切な概念だよ！ でも初学者がつまずきやすいのが、排反と独立を混同してしまうこと。ここをしっかり区別すれば、確率の問題が一段クリアに見えてくるよ！
1. 事象の独立性とは
まずは「2つの事象が独立である」とはどういうことか、直感的なイメージから入りましょう。
独立の直感的なイメージ
事象AとBが独立とは、「Aが起きたか起きていないかの情報が、Bが起きる確率に影響を与えない」関係のことです。お互いがまったく無関係に振る舞う、という感覚ですね。
身近な例
- 独立な例：1枚目のコインの表裏と、2枚目のコインの表裏
- 独立な例：今日の東京の天気と、今日の大阪の宝くじ当選番号
- 独立でない例：今日の天気と、今日の傘の売上（雨なら傘が売れやすい）
- 独立でない例:勉強時間と、テストの点数（長く勉強したほうが点数は上がりやすい）
「片方の結果がわかったとき、もう片方の確率が変化するかどうか」が独立かどうかの分かれ目です。変化しなければ独立、変化すれば独立ではない、と覚えてください。
数式での定義
独立性を、確率の式できちんと定義しておきましょう。
事象AとBが独立であるとは、次の式が成り立つこと：
P(A∩B) = P(A) × P(B)
「AかつBの確率が、Aの確率とBの確率の掛け算になる」という関係です。これは確率の乗法定理と呼ばれる重要な公式の、独立な場合における特殊な形です。
具体例で確認
コインを2回投げる試行で、A=「1回目が表」、B=「2回目が表」とします。
- P(A) = 1/2
- P(B) = 1/2
- P(A∩B) = 1/4（2回とも表になるのは(表,表)の1通り、全事象は4通り）
ここで、P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4 となり、P(A∩B) と一致します。よってAとBは独立です。
2. 独立な場合の乗法定理
独立性が成り立つ場合、「AかつBの確率」を簡単に計算できるようになります。これが乗法定理の使いどころです。
独立な事象の確率は掛け算でOK
AとBが独立なら、P(A∩B) = P(A) × P(B)。これだけです。複雑な場合分けをしなくても、それぞれの確率を掛けるだけで「両方起こる確率」が求まります。
3つ以上の事象でも同じ
独立な3つの事象A, B, Cがあれば、
P(A∩B∩C) = P(A) × P(B) × P(C)
たとえば前回の練習問題6で出てきた「サイコロを3回投げて1が1回も出ない確率」は、各回の試行が独立なので、(5/6) × (5/6) × (5/6) = 125/216 と計算できました。独立だからこそ、掛け算が許されるのです。
独立でないときは掛けてはいけない
逆に、独立でない事象の確率を掛けてしまうと、間違った答えが出てしまいます。たとえば「今日が雨である」と「今日傘が売れる」の確率を単純に掛けると、両者が密接に関係しているという事実を無視することになります。
掛け算してよいかどうか、独立性をきちんと確認する──これは実務でデータを扱うときに常に問われる視点です。
「独立なら掛け算」は確率計算の最強の武器のひとつ。ただし、独立性が成り立っている前提を忘れてはいけません。独立でないなら、次回学ぶ条件付確率の出番になります。
3. 「独立」と「排反」は別物
ここが本ページでもっとも大切なパートです。「独立」と「排反」は、まったく別の概念であることを、しっかり区別しましょう。混同しやすいので、何度も読み返してください。
排反の復習
前回学んだとおり、排反とは「2つの事象が同時には起こらない」関係でした。記号で書けば A∩B = ∅（空事象）、つまり P(A∩B) = 0 です。
独立と排反の比較
| 概念 | 意味 | 数式 | サイコロでの例 |
|---|---|---|---|
| 排反 | 同時には起こらない | P(A∩B) = 0 | 「偶数」と「奇数」 |
| 独立 | 互いの確率に影響しない | P(A∩B) = P(A)×P(B) | 1回目「偶数」と2回目「偶数」 |
排反かつ独立になることはほぼない
興味深いのは、排反な事象は、ほとんどの場合「独立ではない」という点です。排反だと P(A∩B) = 0 ですが、独立だと P(A∩B) = P(A) × P(B)。両方が成り立つには P(A) = 0 または P(B) = 0、つまりどちらかの確率が0でなければなりません。
これは直感的にも納得できます。「Aが起きた」ことがわかると「Bは絶対に起こらない（排反だから）」という強い情報が得られる──これは明らかにBの確率に影響しているので、独立ではないんです。
典型的な混同パターン
初学者がよくやってしまう間違いに、こんなものがあります。
サイコロを1回振る試行で、A=「偶数が出る」、B=「奇数が出る」とすると：
- P(A) = 1/2、P(B) = 1/2
- P(A) × P(B) = 1/4
- でも実際には P(A∩B) = 0（偶数と奇数は同時に起こらない＝排反）
1/4 ≠ 0 なので、AとBは独立ではない。排反であって独立ではない典型的な例です。
「排反」「独立」「両方」「どちらでもない」──事象の関係には、いくつかのパターンがあります。問題を解くときは、「これは排反？ それとも独立？」を最初に確認するクセをつけましょう。
4. 試行の独立性
ここまでは「事象の独立性」を扱ってきました。確率にはもう1つ、試行の独立性という似た概念があります。
試行の独立性とは
試行が独立とは、「ある試行の結果が、別の試行の結果に影響しない」関係のことです。
- 独立な試行の例：コインを2回投げる（1回目の結果が2回目に影響しない）
- 独立な試行の例：袋から玉を取り出して戻してもう一度取り出す（袋の中身が同じに戻る）
- 独立でない試行の例：袋から玉を取り出して戻さずにもう一度取り出す（袋の中身が変化する）
復元抽出と非復元抽出
袋から玉を取り出す場面で、戻すかどうかで試行の独立性が大きく変わります。
- 復元抽出（ふくげんちゅうしゅつ）：取り出した玉を戻してから次を引く。試行は独立
- 非復元抽出（ひふくげんちゅうしゅつ）：取り出した玉を戻さずに次を引く。試行は独立ではない
具体例で違いを確認
袋に赤玉3個、白玉2個（合計5個）が入っている。袋から玉を2回取り出して、両方とも赤玉が出る確率を求めたい。
(1) 復元抽出の場合：1回目で赤を取って戻すので、2回目も同じ条件で引く。
- 1回目に赤が出る確率：3/5
- 2回目に赤が出る確率：3/5（戻したので変わらない）
- 両方赤の確率：3/5 × 3/5 = 9/25
(2) 非復元抽出の場合：1回目で赤を取り、戻さずに2回目を引く。
- 1回目に赤が出る確率：3/5
- 2回目に赤が出る確率：2/4 = 1/2（赤が1個減って袋には赤2個・白2個）
- 両方赤の確率：3/5 × 1/2 = 3/10
復元なら 9/25 = 0.36、非復元なら 3/10 = 0.30。「戻すかどうか」だけで、確率が変わってしまうのがわかります。問題文に「戻して」「戻さずに」と書かれていたら、必ず注目してください。
復元抽出 → 試行は独立、非復元抽出 → 試行は独立でない。試験では「戻さずに」という言葉に要注意です。
反復試行の独立性
コインを何度も投げる、サイコロを何度も振るような同じ試行を繰り返す場合は、反復試行と呼ばれます。反復試行は通常、各回の試行が独立であることが前提です。だからこそ、(5/6)³ や (1/2)² のように確率を掛け算できるんですね。
5. 練習問題
ここからは練習問題6問。独立性を使った典型問題を、難度を上げながら解いていきましょう。
問題 1 ─ サイコロを2回振る
サイコロを2回振るとき、「1回目が偶数、かつ2回目が3以上」になる確率を求めてください。
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サイコロを2回振る試行は、各回が独立です。
- P(1回目が偶数) = 3/6 = 1/2
- P(2回目が3以上) = 4/6 = 2/3（3,4,5,6の4通り）
独立なので乗法定理で掛け算：
P(両方) = 1/2 × 2/3 = 2/6 = 1/3
問題 2 ─ コインの3連続表
公平なコインを3回連続で投げるとき、すべて表になる確率を求めてください。
解答を見る
各回のコイン投げは独立な試行です。1回ごとに表が出る確率は 1/2。
P(3回すべて表) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
全事象（HHH, HHT, …, TTT）は2³ = 8通り。すべて表は HHH の1通りなので 1/8。式と一致します。
問題 3 ─ 排反？ 独立？
サイコロを1回振る試行で、A=「3が出る」、B=「5が出る」とします。
- (1) AとBは排反でしょうか？
- (2) AとBは独立でしょうか？
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(1) 排反かどうか
「3が出る」と「5が出る」は同時には起こりません（サイコロを1回振るので結果は1つだけ）。よってA∩B = ∅、つまり排反です。
(2) 独立かどうか
独立かどうかは P(A∩B) = P(A) × P(B) を確認します。
- P(A) = 1/6、P(B) = 1/6
- P(A) × P(B) = 1/36
- P(A∩B) = 0（排反だから）
0 ≠ 1/36 なので、独立ではない。
この問題が示すように、排反な2つの事象は基本的に独立にはなりません。「排反だから独立」と早合点しないように。
問題 4 ─ 復元抽出と非復元抽出
袋に赤玉4個、白玉6個（合計10個）が入っています。次の2つの場合について、2回連続で赤玉を引く確率をそれぞれ求めてください。
- (1) 1回目に引いた玉を戻してから2回目を引く（復元抽出）
- (2) 1回目に引いた玉を戻さずに2回目を引く（非復元抽出）
解答を見る
(1) 復元抽出
戻すので袋の中身は変わらず、各試行は独立。
- 1回目に赤：4/10 = 2/5
- 2回目に赤：4/10 = 2/5（同じ確率）
P(両方赤) = 2/5 × 2/5 = 4/25 = 0.16
(2) 非復元抽出
1回目で赤を取った後、袋には赤3個・白6個（合計9個）が残る。
- 1回目に赤：4/10 = 2/5
- 2回目に赤（赤を1つ取った後の袋から）：3/9 = 1/3
P(両方赤) = 2/5 × 1/3 = 2/15 ≒ 0.133
非復元のほうが確率が下がっています。1回目で赤を取った分、袋の中の赤の割合が少なくなるためです。
問題 5 ─ 製造ラインの不良品
ある工場の製造ラインで、製品が不良品になる確率は1個あたり0.02（2%）です。各製品の不良発生は独立とします。連続して3個の製品を検査するとき、次の確率を求めてください。
- (1) 3個ともすべて良品である確率
- (2) 少なくとも1個は不良品である確率
解答を見る
各製品の良品確率は 1 − 0.02 = 0.98。各回が独立なので、確率の掛け算が使えます。
(1) 3個とも良品
P(3個とも良品) = 0.98 × 0.98 × 0.98 = 0.98³ ≒ 0.9412
(2) 少なくとも1個は不良品
前回学んだ余事象の発想を使います。「少なくとも1個不良」の余事象は「3個とも良品」、つまり(1)で求めた値です。
P(少なくとも1個不良) = 1 − 0.9412 = 0.0588（約5.9%）
1個ずつなら2%の不良率でも、3個チェックすると約5.9%の確率で1個以上の不良に当たることになります。独立試行を繰り返すと、リスクは積み重なる──実務でも重要な感覚です。
問題 6 ─ ジョーカーを除いたトランプ
ジョーカーを除いた52枚のトランプから、戻さずに2枚連続で引きます。
- (1) 2枚ともハートである確率を求めてください
- (2) 2枚ともAである確率を求めてください
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非復元抽出なので、1回目を引いたあとは枚数と内訳が変わります。
(1) 2枚ともハート
- 1枚目がハート：13/52 = 1/4
- 2枚目もハート（1枚目でハートが1枚減ったので、ハート12枚 / 全51枚）：12/51
P(2枚ともハート) = 1/4 × 12/51 = 12/204 = 1/17 ≒ 0.0588
(2) 2枚ともA
- 1枚目がA：4/52 = 1/13
- 2枚目もA（Aが1枚減って3枚 / 全51枚）：3/51 = 1/17
P(2枚ともA) = 1/13 × 1/17 = 1/221 ≒ 0.0045
Aが2枚連続で出るのは、約0.45%──221回に1回くらい、なかなかレアなことだとわかります。
まとめ
第6章3回目の本ページ、ポイントを整理しておきましょう。
- 事象の独立性：P(A∩B) = P(A) × P(B) が成り立つ関係
- 独立な事象の確率：掛け算で求められる（乗法定理）
- 独立 ≠ 排反：排反は「同時に起こらない」、独立は「互いに影響しない」
- 排反な事象は基本的に独立ではない：「Aが起きた」とわかれば「Bは絶対起こらない」という強い情報になるから
- 試行の独立性：ある試行の結果が別の試行に影響しない
- 復元抽出は独立、非復元抽出は独立でない：問題文の「戻す/戻さない」に要注意
- 反復試行：同じ試行を繰り返す場合は、通常各回が独立
次回は条件付確率──「Aが起きたとき、Bが起きる確率」を扱います。今回学んだ独立性の知識が、条件付確率を理解する大きな助けになります。
独立と排反の区別、しっかり押さえられたかな？ ここを混同しなくなるだけで、確率の問題が一気に得意になるよ！ 次回は条件付確率──「ある条件のもとでの確率」を考える、ちょっと不思議で面白い世界に入っていくよ！