正規分布の確率計算

さえ

第7章ラスト！　ここは確率計算という具体的な作業だから、手を動かして覚えるのがコツ！　Excelも使うから、講座を読んだあとは実際にExcelで計算してみてね！　体で覚えると忘れないよ！

1. 標準正規分布の確率 ─ 「面積」で考える

連続型確率変数では、「特定の値を取る確率」には意味がなく、「ある範囲に入る確率」を考えるのでした(7-1)。これは正規分布でも同じ。曲線の下の面積がそのまま確率になります。

例：Z ≤ 1.5 の確率

標準正規分布 N(0, 1) で、Z が 1.5 以下になる確率を求めることを考えます。これは曲線の左から Z = 1.5 までの面積です。

標準正規分布表とは

この面積（確率）の値は、標準正規分布表であらかじめ計算されています。試験では問題用紙にこの表が添付されるので、表から値を読み取ります。

試験で使われる標準正規分布表は、多くの場合 P(0 ≤ Z ≤ z)(中央 0 から z までの面積)が記載されています。これは標準正規分布が左右対称なので、右半分の面積さえわかれば全体が計算できるからです。

標準正規分布表の使い方(基本)

よく出てくる値を表で確認しておきましょう。

4つの典型計算パターン

標準正規分布表を使った計算には、4つの典型パターンがあります。すべて「対称性」と「左半分は0.5」の2つを使えば求められます。

① P(0 ≤ Z ≤ a) → 表から直接読む

例：P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332

② P(Z ≤ a) → 0.5 + 表の値（aが正の場合）

例：P(Z ≤ 1.5) = 0.5 + 0.4332 = 0.9332

③ P(Z ≥ a) → 0.5 − 表の値（aが正の場合）

例：P(Z ≥ 1.5) = 0.5 − 0.4332 = 0.0668

④ P(a ≤ Z ≤ b) → 表の値の引き算（同符号の場合）/ 足し算（異符号の場合）

例：P(0.5 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332 − 0.1915 = 0.2417

2. Excelで確率を計算する ─ NORM.S.DIST関数

実務では、標準正規分布表を見るより、Excelの関数のほうが圧倒的に楽です。3級の試験では分布表を使いますが、計算の理解を深めるためにExcelも触れておきましょう。

NORM.S.DIST関数の基本

第2引数に TRUE を入れることで、累積確率(左からの面積)が返ります。FALSE を入れると密度の値(曲線の高さ)が返るので、3級では基本 TRUE を使うと覚えてください。

使用例

最後の P(-1 ≤ Z ≤ 1) ≒ 0.6827 と P(-2 ≤ Z ≤ 2) ≒ 0.9545 は、前回学んだ68-95-99.7ルールの正確な値です。「約68%」「約95%」とは、ここから来ていたんですね。

3. 一般の正規分布の確率 ─ 標準化を使う

確率を求めたい正規分布が N(0, 1) ではない一般の正規分布のときは、標準化(7-3で学習)を使います。

計算の流れ

1. 確率変数 X を標準化：Z = (X − μ) / σ
2. 知りたい範囲を、Z の範囲に変換
3. 標準正規分布の確率として求める

具体例：身長の問題

解答

X を身長として、求めたいのは P(X ≥ 176)。標準化のステップを順に進めます。

ステップ1：標準化

X = 176 を Z に変換します。

Z = (176 − 170) / 6 = 1.0

ステップ2：Z の範囲に変換

X ≥ 176 は Z ≥ 1.0 と同じこと。

ステップ3：確率を求める

P(Z ≥ 1.0) = 0.5 − P(0 ≤ Z ≤ 1.0) = 0.5 − 0.3413 = 0.1587（約15.87%）

日本人男性のうち、身長176cm以上の人は約16%です。前回 7-3 で「Lサイズの会員は約16%」と計算したのと一致しますね。

Excelで一発計算

Excelでは、わざわざ標準化しなくても、NORM.DIST関数を使えば一発で計算できます。

先ほどの身長の例なら：

P(X ≥ 176) = 1 − P(X ≤ 176) = =1 - NORM.DIST(176, 170, 6, TRUE) ≒ 0.1587

標準化なしで、いきなり結果が出ます。第3引数は標準偏差(σ)で、分散(σ²)ではないので注意してください。

4. 二項分布の正規近似

最後に、前回 7-3 の最後で予告した二項分布の正規近似です。

正規近似とは

二項分布 B(n, p) で n が大きいとき、その分布は正規分布で近似できます。

期待値 np と分散 np(1-p) を持つ正規分布で、二項分布の確率が近似できる、ということです。直接計算が大変な二項分布の問題が、正規分布の確率計算に置き換わる──これが正規近似の威力です。

具体例：コイン100回投げ

解答

ステップ1：近似する正規分布を決める

• 期待値：np = 100 × 0.5 = 50
• 分散：np(1-p) = 100 × 0.5 × 0.5 = 25
• 標準偏差：σ = √25 = 5
• 近似する分布：N(50, 25) (μ=50, σ=5)

ステップ2：標準化

Z = (60 − 50) / 5 = 2.0

ステップ3：確率を求める

P(X ≥ 60) ≒ P(Z ≥ 2.0) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228（約2.28%）

コインを100回投げて、表が60回以上出るのは約2.28%(50回に1回くらい)。意外とレアなことだとわかりますね。

Excelでも確認

Excelで NORM.DIST を使って同じ計算をしてみると：

=1 - NORM.DIST(60, 50, 5, TRUE) ≒ 0.0228

ぴったり一致します。直接二項分布で計算した正確な値は約0.0284なので、正規近似の精度はかなり高いことがわかります(誤差は0.0056ほど)。

5. 第7章を終えて

第7章「確率変数と確率分布」、おつかれさまでした。最後に章全体を俯瞰しておきましょう。

記述統計から確率分布へ

第1〜5章では「目の前のデータをどう要約するか」という記述統計を学び、第6章で確率の世界に入り、そして第7章で確率変数と確率分布に到達しました。確率変数と確率分布の発想は、データを「単なる数字の集まり」ではなく「ばらつきを持つ確率的な存在」として捉える視点を与えてくれます。

この視点こそが、現代のデータサイエンス・機械学習・AIの土台。3級の学習を通して、データを確率的に考える基礎体力を身につけたと言えます。

CHAPTER 7 完了！

第7章「確率変数と確率分布」、ここで完了です。

次は第8章「データの収集」です。第8章はデータの集め方を扱う実用的な章で、クールダウン的に読み進めることができると思います。

さえ

第7章コンプリート、本当におつかれさまでした！　確率変数・期待値・正規分布・標準化・正規近似──ここは何度も読み返してみてください。感覚をつかむまで時間がかかる章です。読み返した回数分、理解も定着すると思います！